我的SEU求学日记

一些零散的题目和方法整理：

• 一道简单估计的三角代换方法

• 有限测度当中各种收敛方式之间的关系

• Golden-Thompson inequality

• 分组拆分估计

• 部分积的上界估计与Gautschi不等式

• 杂题汇总 这里存放着同学或网友问过的问题，因为刚刚整理，篇幅不多，所以也不打算每个问题单列出来，而是集中到一个pdf文档中(不定期更新：2025.11.1)

• AI 提问词 从UP小号菌子那里参考，后续随着进一步使用，或许会更新一份新的提示词。

---

下面补充了一些对AI与数学的看法，总结为 学习与优化的原理：从度量到方法论

一、Goodhart 定律与代理目标

核心：度量与目标的背离

Goodhart 定律 (Goodhart, 1975)：

当一种度量被用作目标时，它将不再是一个好的度量。

在优化真实目标（难以衡量）时，我们使用代理目标（易于衡量）。过度优化代理指标会使其实质价值降低。

定律的三种具体表现

类型	核心问题	学习中的例子	关键修正措施
极端型 (过拟合)	过度适应训练集，泛化性能急剧下降。	缺少对本质的思考，机械训练相似题目，导致缺乏举一反三的能力。	1. 限制优化幅度，理解方法本质。 2. 多样化训练，知道方法的适用性边界。
因果型 (相关非因果)	错把相关当成因果，优化指标对真实目标无效。	认为“读完书的页数”与“数学水平”有必然因果，导致浅层阅读和理解不足。	持续进行因果分析，跟踪真实结果来验证代理指标的有效性。
对抗型 (钻空子)	为最大化指标，利用设计漏洞，未推动真实目标实现。	只做简单、容易的题目，以最大化单位时间做题数量。	多维化指标设计，避免维度过于单一。对钻空子行为进行惩戒。

总结： 指标是手段，不可本末倒置。必须持续审视并修正代理目标。

二、学习中避免“贪心”思维

贪心算法在每一步都选择局部最优。它能得到全局最优解，必须满足以下两个条件：

1. 贪心选择性： 局部最优选择能引向全局最优。
2. 最优子结构： 全局最优解能由子问题的最优解构成。

教训： 学习和复杂优化问题往往不满足这两个前提。

• 反例： 背单词时，“每小时记忆量”（局部最优）无法构成“十天后长期记忆量”（全局最优），因为存在遗忘。
• 优选策略： 采用“先探索后利用”。前期投入时间探索、理解本质、抽象方法（建立工具箱），后期再高效利用，以实现全局最优。

三、数学中的两种抽象文化

数学家 Gowers 将数学抽象分为两类：

1. 对数学对象的抽象 (第一类抽象)

• 核心： 推广数学对象和结果。
• 典型： 理论的构建者。
• 目的： 通过构建“大理论”（如希尔伯特空间）来“压缩”海量的原始数据，提高交流效率。
• 评价： 结果的深度和与其他数学对象的紧密关联。

2. 对数学方法的抽象 (第二类抽象)

• 核心： 推广解决问题的思路和方法。
• 典型： 问题的解决者。
• 关键： 剥离应用细节，提炼想法的动机与目的（如概率法、测度集中法）。
• 意义： 揭示了数学对象上不相关的问题，在方法论上却可以深刻互联。

当前不足： 缺乏严密阐述第二类抽象的数学语言，导致这种方法论的抽象常常以不够严谨的人类自然语言进行交流。

---

四、构建深度学习的“数学笔记”

数学笔记的定位是理解的“图式”和“工具箱”。

笔记的基本原则

1. 个人化： 只写自己的理解、领悟和补充，不抄书。
2. 证明性： 必须证明自己的理解。命题需证明；观点需证据/例子。
3. 迭代与压缩： 不断修正、融入新经验，并通过一般化推广实现信息的压缩和提炼。
   • 老子哲理：“为学日益，为道日损”（学习新知时做加法，提炼本质时做减法）。

写作策略（如何“写出来”）

策略	核心思路	例子
推广	将解决问题的思路延伸到一般情况。	利用 $\text{Bezout}$ 恒等式将群论中互素条件的解法推广。
反例	思考“如果去掉某个条件会如何？”	构造反例，证明 $\limsup x_n^2$ 的等式为何需要 $x_n \geq 0$。
替代性思考	思考“为何不试试这样做？”以理解当前解法的优势或局限性。	探究递归序列的极限：为何选择上下极限而非证明单调性。
背景探究	寻找某个结果对应的更大数学背景。	从 $\lim \sin(n)$ 的初等做法，扩展到数论中序列的性质。

---

五、生成式 AI 在数学学习中的使用

核心原则：收益与风险管理

核心原则：

只问 AI 擅长回答的问题。

容错与验证原则：

仅在回答的错误容忍度较高，且正确性易于被验证时，才使用 AI.

适用原则的场景	评估结果
头脑风暴（寻求灵感/例子）	推荐：容错度高，验证难度低。
不常见证明/复杂推理	不推荐：数学错误容忍度极低，且非 $\text{LLM}$ 强项。
编写程序代码	推荐：错误反馈及时（验证难度低），易于调试修正。

认知负债 (Cognitive Debt)

将本应由大脑完成的推理、检索和监控工作外包给 $\text{LLM}$，短期看似高效，长期却会侵蚀注意力、记忆力与元认知控制。

• 神经科学证据： 长期使用 $\text{LLM}$ 写作的学生，大脑功能连通性（神经活动）显著降低，且停用工具后不会立即恢复。
• 应对： 真正有效的学习需要“理想的困难 ($\text{Desirable Difficulty}$)”。必须先独立思考，进行充分的自我推理后，再借助 $\text{AI}$ 辅助。

六、完整的数学解题经验

关键缺失：失败的经验

传统训练只强调“某种方法能解决什么问题”，缺乏“某种方法不能解决什么问题”的试错经验，导致过拟合。

完整的训练应涵盖三种经验

1. 方法能直接解决的问题。
2. 方法不能直接解决，但通过变通手段后可以解决的问题。
3. 方法根本不能解决的问题，以及替代的方案。

练习时的反思：

• 自我批判： 是我对方法理解太浅（应深化理解）？
• 方法论批判： 是此方法在此问题中根本不可行（应识别本质困难并寻找替代方法）？

例子： 求和极限时，若 $\text{Taylor}$ 展开后的误差余项 $\sum O(\dots)$ 不符合 $o(1)$ 的要求，则必须放弃逐项估计，转向和的积分估计等替代方法。

返回主页